Tutor Matematicas.com GEOMETRÍA PLANA

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UNIDAD I

RELACIONES DE ÁNGULOS

Introducción a puntos, líneas, segmentos, planos.

Tú podrás en esta lección aprender y practicar el uso de términos indefinidos como lo son punto, linea y plano. Podrás aprender como ir de un punto a dos puntos, entonces a una línea, de esta a dos lineas intersecando en un punto común, y así formando una ángulo. Estos son los elementos básicos de toda figura plana. Suerte!

Ángulos complementarios y suplementarios: relaciones de ángulo.

Cuando los ángulos son dados en pares y los sumamos, entonces nos pueden dar 90º, o 180º o algún otro número. En los dos primeros casos decimos que son complementarios o suplementarios. Esto es válido para ángulos agudos, y obtusos. Ahora cuando los ángulos son adyacentes y cumplen con alguna de estas condiciones, entonces hablamos de que pueden formar un ángulo recto, o un par lineal.
Cuando se nos dan como expresiones algebraicas, entonces podemos escribir ecuaciones que igualamos a 90º o 180º. Adicionalmente, se tiene el caso de ánglos opuestos por el vertice cuando este es el punto de intersección de dos lineas rectas. Estos son ángulos verticales y son congruentes.
La lección se centra en problemas para practicar con miras en aplicar estos conceptos en secciones más avanzadas del curso de geometría.

Ángulos complementarios y suplementarios: Problemas verbales.

Has tratado de formar una ecuación usando el texto de un problema. ¿Cuál parte del texto corresponde al lado izquierdo de la ecuación? ¿Cuál corresponde al derecho? En el caso de ángulos complementarios, y suplementarios: ¿Que parte del texto me indicará si sumo los ángulos e igualo a 90º? o ¿Sumo igual a 180º? Aventurate en aprender los conceptos en esta lección.

Ángulos complementarios y suplementarios: usando geolegs.

Muchos de nosotros como estudiantes aprendimos con libros de muchas letras, algunos dibujos, y fotos. Pero no todos hemos tenido la oportunidad de trabajar con un transportador, y regla y dibujar ángulos de diferentes medidas que cumplan cuando están dados en pares, con las definiciones de complementarios, suplementarios, o verticales. Los "Geolegs" dan la oportunidad de resarcir todas estas deficiencias. En forma visual aprenderás a trabajar con los pares de ángulos descritos y a leer escalas angulares. Esta lección se pone de tu lado. No necesitas tener los geolegs contigo.

Introducción a la pendiente: paralelismo y perpendicularismo.

La inclinación de un camino está determinada por la cantidad de unidades lineales que se avanza verticalmente sobre las que se avanza horizontalmente. Generalmente un cuesta arriba es difícil para la mayoría de los vehículos cuando por cada 100 unidades lineales horizontales, el camino se eleva más de 4 ó 5 unidades verticales. Decimos que tiene 4% o 5% de pendiente. En estos casos los vehículos pesados tienen su carril especial a la derecha para permitir a vehículos más ligeros, que tienen menos carga que sobrelleve los efectos de la inclinación, y por lo tanto se mueven más rápido. Cuesta abajo, es al contrario. Los vehículos pesados tienen la tendencia de acelerase por su mayor peso y necesitan frenar con motor para evitar sobre calentar los metales de los frenos y fundir los plásticos de que están hechos los sellos. De suceder esto se pierde el fluido del sistema de frenos. Date la oportunidad de trabajar este concepto en línea parallelas y líneas perpendiculares.

Ángulos en líneas paralelas cortadas por una línea transversal.

Cuando tenemos dos o más líneas que no intersecan y están en el mismo plano decimos que son paralelas. Si son intersecadas por una línea, entonces en los cruces de cada intersección se forman 4 ángulos. Estos ángulos pueden ser tomados en pares con ángulos de otra intersección. Dependiendo cómo los tomemos pueden ser ángulos correspondientes, alternos internos, alternos externos, o consecutivos. De tal forma que cuando tomamos dos al mismo tiempo siempre suman 90º, o 180º, o son de igual medida. La lección se enfoca en presentar problemas que cumplen con estas condiciones para establecer ecuaciones lineales que permitan encontrar el valor numérico de los ángulos cuando se dan como expresiones algebraicas. No más dolores de cabeza. Buena suerte.

Razonamiento inductivo y deductivo.

Estas viendo la televisión y tu mamá o papá te pide ordenar tu cuarto. Nada agradable cuando los zapatos, tu ropa, tus libros, tus juguetes, y otras cosas estan fuera de su lugar. Primero necesitas determinar las cosas que están fuera de orden, segundo necesitas determinar su lugar correspondiente, y tercero tienes que ponerlas como corresponde. Para ello, necesitas estar seguro que no pondrás todo un montón de objetos arriba de la tapa que tendrás que abrir para poner uno objeto que iba antes de ellos. Primero pones el objeto adentro, y luego apilas los otros objetos.
Cuando has ido a través de este proceso, en realidad hiciste lo mismo que en una demostración geométrica. El razonamiento geométrico es de tipo inductivo y deductivo.
El caso anterior es un ejemplo de razonamiento deductivo porque de acuerdo a las reglas (lugar correspondiente para cada objeto) tu ordenaste el cuarto ("La conclusión").
Cuando buscas demostrar una regla entonces hablas de razonamiento inductivo. Por ejemplo en una lista de números el primero es 2, el segundo 4, el tercero 6, entonces puedes concluir que la regla es que se va añadiendo dos unidades para obtener cada nuevo número en la lista.
Esta lección te dará la oportunidad de aprender con elementos geométricos, algo que ya desde niño has practicado en forma natural.

 

 

 

 

 

 

UNIDAD II

CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS

Triángulos congruentes: problemas algebraicos.

Si se te ha dicho que dos triángulos son congruentes, tu concluyes que entonces los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes, y los tres pares de lados correspondientes son congruentes. Ahora, la pregunta es: Si te dan dos triángulos congruentes con lados, o ángulos que tienen expresiones algebraicas en lugar de números, ¿Podrías determinar el valor numérico de los ángulos y lados?
Para esto necesitarás establecer ecuaciones que te permitan encontrar estos valores. Estas ecuación serán igualando las expresiones algebraicas de lados congruentes, o de ángulos congruentes. Adicionalmente, en algunos casos se da la situación de tener que recurrir a la suma de los ángulos interiores de un triángulo igual a 180º, antes de efectuar los pasos descritos.

Triángulos congruentes: LLL, LAL, ALA, AAL, CC, HC, HA, CA.

Se te ha pedido demostrar que dos edificios son exactamente iguales. Cada edificio tiene 177 cuartos. Los cuartos son de tres medidas distintas, algunos con baño, otros sin baño. Algunos con espacio para un estudio, otros sin este espacio.
Si no se te indica nada más; tendrás que verificar cada uno de los 177 cuartos y compararlos para los dos edificios. Sin embargo si se te dice que si el cuarto inmediato del lado derecho para cada piso es igual al de el otro edificio, entonces puedes concluir que todos los demás cuartos en ese piso son idénticos a los correspondientes en el otro edificio, tendrías solo que verificar esto para cada piso del edificio. De tal forma que una verificación completa del piso en cuestión sería necesaria solo si este cuarto particular no cumple con esta regla.
En el caso de triángulos congruentes, para probar que son congruentes, necesitas comparar cada una de las seis partes correspondientes. Tres ángulos, y tres lados. Sin embargo, al igual que en el caso de los edificios, hay formas abreviadas de hacerlo. Lado-lado-lado te indica que comparando los tres lados de un triángulo con los tres lados correspondientes del otro triángulo es suficiente para concluir si son o no congruentes. De esta forma si son congruentes, las demás partes que no comparastes también lo son. Lo mismo ocurre para lado-ángulo-lado, ángulo-lado-ángulo, y ángulo-ángulo-lado.
¿Has comparado las uñas del pie derecho con las correspondientes del pie izquierdo? Suerte.

Desigualdad en triángulos.

Te dan tres palitos cilíndricos de cierta longitud cada uno. Se te pide medirlos en centímetros, y entonces se te pregunta: ¿Podrías determinar sin tratar de armar el triángulo primero, si los palitos conectados en los puntos extremos con uno solo de los otros palitos forman un triángulo? ¿Podrías establecer la condición para que esto suceda para cualquier conjunto de estos tres palitos?
Este es el problema de desigualdad de un triángulo. Te dice que si la suma de dos de los lados posibles de un triángulo es mayor que la suma del tercer lado, entonces el triángulo se puede formar. Esto se necesita verificar para cada combinación posible tomando dos lados a la vez.
También podrás verificar la situación cuando tienes dos triángulos con dos pares de lados congruentes, y el ángulo incluido no es congruente. ¿Qué pasa con el tercer par de lados? ¿Que ocurre con las misma condición pero ahora se te dice que el tercer par de lados no es congruente? ¿Qué pasa con el tercer par de ángulos correspondiente? Estos son casos de desigualdad en dos triángulos.
Se cubre también la situación de tener tres lados de un triángulo que son conocidos, y en base a esta información se te pide poner en orden los ángulos para los cuales se desconoce la medida angular. Lo mismo ocurre en el caso donde se conocen los tres ángulos pero se desconocen los lados. El order se puede pedir de forma ascendente o descendente.

 

 

 

 

 

 

UNIDAD III

CUADRILÁTEROS: SEGMENTOS Y ÁNGULOS

Paralelogramos y rectángulos: segmentos y ángulos.

Cuando un cuadrilátero cumple que tiene dos pares de lados paralelos y congruentes, entonces se dice que es un paralelogramo.
Cuando las longitudes de los segmentos que forman el paralelogramo, o formados por sus diagonales son dadas como expresiones algebraicas, entonces podemos determinar sus valores numéricos estableciendo las ecuaciones correspondientes. Esta es una opción para practicar tus habilidades algebraicas resolviendo ecuaciones lineales, cuadráticas, o sistemas de ecuaciones lineales en dos variables.

Propiedades de los cuadriláteros.

Un polígono esta definido como una figura plana, formada por segmentos lineales, conectados en los extremos, con uno solo de los segmentos restantes, formando un área cerrada. Los polígonos pueden ser cóncavos, o convexos. Regulares o irregulares. Además reciben sus nombres dependiendo del número de lados.
Esta lección se concentra en polígonos de cuatro lados. Cuatro lados es el número de lados de la mayoría de los recintos habitacionales que se usan o han usado a través del tiempo.
Dependiendo si se cumple que los lados opuestos son paralelos, congruentes, o los ángulos son congruentes, o no, etc. Se determina si se tiene un cuadrado, un rectángulo, un rombo o un trapecio. En esta lección se te guia en la clasificación de cuadriláteros como se llaman los polígonos de cuatro lados.

Rombos y cuadrados: segmentos y ángulos.

Cuando se cumple que todos los lados son congruentes, entonces solo resta saber si todos los ángulos también lo son para determinar si se tiene un rombo "puro" o un cuadrado, que es también un rombo. Recuerda, todos los cuadrados son rombos, pero no todos los rombos son cuadrados.
En esta presentación se te expondrá a resolver problemas en los cuales los ángulos, y lados del cuadrilátero en cuestión están dados como expresiones algebraicas que tendrás que usar para establecer ecuaciones lineales, o cuadráticas, o en algunos casos sistemas de ecuaciones lineales en dos variables.

Trapecios: segmentos y ángulos.

Decimos que si en un cuadrilátero solo existe un par de lados paralelos, entonces esto es suficiente para excluirlo del conjunto de los paralelogramos, y nombrarlo como un trapecio. Ahora, si además tiene un par de lados congruentes, entonces decimos que tenemos un trapecio isósceles.
Esta es una oportunidad de practicar encontrando segmentos y ángulos en trapecios isósceles cuando estos se dan como expresiones algebraicas. Para ello, al igual que con los paralelogramos tendrás que resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, o sistemas de ecuaciones lineales en dos variables. Un repaso de las secciones correspondientes de este sitio de internet destinadas a álgebra te ayudarían bastante.

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD IV

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Y TRIGONOMETRÍA

Triángulos semejantes.

Un sinónimo de semejante es similar. Por ejemplo, decir llueve agua del cielo, es semejante que decir cae agua del cielo.
Cuando tenemos pares de triángulos entonces la semejanza se determina por la proporcionalidad de los lados correspondientes, y la congruencia de los ángulos correspondientes. De tal forma que si se cumple que tenemos triángulos con tres pares de ángulos correspondientes congruentes 30º, 60º y 90º y se tiene que los lados correspondientes tomados en pares, el más largo sobre el más corto dan la misma razón, entonces concluimos que son semejantes.
No importa si los triángulos comparados son dos triángulos formados al conectar dos conjuntos de tres estrellas en el firmamento, o si son el resultado de conectar dos conjuntos de átomos en la estructura cristalina que forman los átomos de un metal determinado. Se va a cumplir que son semejantes, si las dos condiciones dadas se cumplen. En un caso los triángulos son gigantescos, y en el otro caso necesitaríamos un microscopio electrónico sumamente potente para poder verlos.

Triángulos semejantes: altura, mediana, bisectriz angular.

Todos los triángulos pueden tener segmentos especiales. Estos pueden ir del vértice al lado opuesto intersecandolo en el punto medio, o formando un ángulo de noventa grados, o bisecando el ángulo en cuestión. O simplemente puede ser el caso de un segmento, o línea intersecando uno de los lados en un ángulo de noventa grados, o recto.
Estas son las condiciones que determinan si tenemos una mediana, una altura, una bisectriz angular, o una bisectriz perpendicular.
Estos segmentos a la vez van a formar triángulos semejantes embebidos en la figura del triángulo original. Los segmentos individuales pueden estar dados como expresiones algebraicas, que por tratarse de triángulos semejantes, se pueden incluir en la formación de proporciones, y resolver para encontrar el valor numérico de los segmentos cuando sustituimos la variable usada en la proporción en cada uno de los lados para los cuales es válido hacerlo. Desde que los triángulos formados son semejantes, algo similar se puede hacer con los pares de ángulos correspondientes y congruentes. En este caso generalmente no hablamos de proporciones. A menos que los ángulos se den como fracciones algebraicas para cada ángulo en el par de ángulos correspondientes.

Triángulos semejantes: Altura de la hipotenusa a el ángulo recto.

El caso de una altura dada desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo. Genera tres triángulos rectángulos que son semejantes. Estos son el triángulo original, y dos embebidos en la figura del triángulo original. Cuando se establecen proporciones tomando dos de estos tres triángulos a la vez. Se encuentran nueve proporciones distintas. De estas tres de ellas cumplen con el concepto de media geométrica, y son enunciados como teoremas a usar para encontrar longitud de estos segmentos cuando se conoce la longitud de al menos tres segmentos, o las expresiones algebraicas para determinar la longitud de los segmentos en cuestión.

Triángulos especiales: 30°-60°-90° y 45°-45°-90°.

En la lección anterior tú aprendiste a trabajar con triángulos semejantes lo que quiere decir que tienen la misma figura diferente tamaño, entonces lo que se requiere para conocer lados desconocidos cuando se tienen dos triángulos semejantes 30°-60°-90° ó 45°-45°-90° es usar proporciones para resolver el problema. Sin embargo en este caso sucede que se establece en que proporción los lados estan relacionados entre ellos para todos los triángulos de este tipo. Por ejemplo, si conoces el lado pequeño de un triángulo rectángulo 30°-60°-90° entonces puedes concluir que la hipotenusa es el doble, y el otro lado es la raíz cuadrada de tres veces el lado pequeño.
Hay muchos problemas en cálculo de áreas de polígonos, o de superficie de área y volumen donde se requiere usar estos procedimientos, o es más práctico de usarlos en lugar del Teorema de Pitágoras, o de trigonometría.

Trigonometría: ¿Cuál es lado opuesto y cuál es adyacente?

En trigonometría es necesario usar muchas de las veces el lado opuesto, o el lado adjacente con respecto a un ángulo de referencia. Esto implica entender con un ángulo de referencia dado, ¿Cuál es el lado opuesto? y ¿Cuál es el lado adjacente? Esta lección te ayuda a entender todo esto con claridad.

Trigonometría: Triángulos rectángulos. Problemas.

Las razones trigonométricas son tres. Seno, Coseno, y Tangente. Estas estan definidas como la razón de dos de los lados.
Esta es una de las lecciones más versátiles que puedes encontrar en este sitio de internet, puesto que se usan en problemas de área, superficie de área, volumen, y de ángulos de elevación o depresión.
Esta parte de la geometría se usa extensivamente en cálculo diferencial e integral, en física, y en la vida real para todo tipo de cálculos indirectos donde no es práctico, aunque se pueda hacerlo de otra manera. Por ejemplo, si quieres saber la altura de una árbol puedes hacerlo físicamente de muchas formas. Pero si solo mides la longitud de su sombra, y el ángulo que forma con referencia al sol, la punta del árbol, el punto más lejano de la sombra y la base del árbol entonces puedes usar la tangente y conocer la altura de dicho árbol. Desde luego si quieres impresionar puedes tener un helicoptero dejando caer una cuerda y, medir la parte de la cuerda que toca el suelo a la punta del árbol. Un poco caro pero puedes vender boletos por el espectáculo.

Trigonometría: Ley de senos y cosenos.

En el caso de triángulos rectángulos se utilizan seno, coseno y tangente. Sin embargo, si el triángulo en cuestión es acutángulo, o obtusángulo, entonces se da que estas no funcionan. Para resolverlos se utiliza Ley de Senos y Ley de Cosenos.
Muchos problemas de navegación se resuelven de esta forma, lo mismo que problemas en el cuidado de los bosques. Una vez detectado un incendio el guardabosques tiene que reportar el lugar donde ocurre desde su torre de vigilancia. El equipo enviado a apagar el fuego toma la distancia de donde ellos estan a la torre y a donde estan las coordenadas del incendio, y con los ángulos formados trazan la ruta más rapida para combatirlo. Mucha suerte. Solo una nota, si vez a un estudiante con humo en la cabeza, no es un incendio: Solo esta pensando.

 

 

 

 

 

 

UNIDAD V

CÍRCULOS

Ángulos centrales y arcos. Longitud de arco.

Haz visto una rueda de la fortuna en un parque recreativo. Los rayos que forman la rueda son radios, y el ángulo que forman es un ángulo central. La parte de la circunferencia de la rueda que intersecan es un arco, que tiene medida angular, y una longitud determinada. En esta lección dedica tiempo al estudio de las relaciones matemáticas para calcular estos ángulos, y la longitud de arco correspondiente.

Círculos y cuerdas congruentes.

¿Haz visto un arco para lanzar flechas? La cuerda que se extiende para lanzar la flecha es una "cuerda" o sería una cuerda si la parte que es el arco fuera parte de una circunferencia. Ahora, cuando tienes cuerdas congruentes en un circulo, o en circulos congruentes (misma longitud en el radio), entonces se cumplen ciertos teoremas que se dan en esta lección y te permitirán resolver problemas en demostraciones geométricas, o en casos en que la longitud de arco, o de la cuerda, estan dados como expresiones algebraicas o numéricas, y tienes que encontrar otros arcos, cuerdas, o segmentos de cuerda.

Círculos y ángulos inscritos.

Si tienes una pizza y quieres partirla en partes iguales escoges un punto imaginario en el centro de la pizza. Las rebanadas son sectores de círculo, y sus ángulos ángulos centrales. Ahora si en lugar de escoger un punto en el centro cortas una revanada escogiendo un punto en la circunferencia, entonces creas un ángulo inscrito. Este ángulo inscrito interseca una parte de la circunferencia, o arco. Este arco es intersecado por dos radios y el ángulo entre estos dos radios es el doble del ángulo intersecado por las dos cuerdas que forma la rebanada con el punto en la circunferencia.
Esta lección trabaja con todas estas relaciones, y te prepara para las demostraciones geométricas que requieren estos conceptos.

Círculos y ángulos formados por cuerdas, secantes y tangentes.

Un círculo puede estar intersecado por líneas, o segmentos, o rayos. Si la línea toca el circulo en un solo punto es una tangente, si interseca el círculo en dos puntos es una cuerda o una secante, este segundo caso es cuando tiene parte de su longitud en exterior del circulo.
En esta lección aprenderas a trabajar con ángulos, y arcos intersecados por una combinación de dos tangentes, dos secantes, o una tangente y una secante. Que dependiendo del caso pueden intersecar en el interior, en el círculo o en el exterior. Desde luego, dos cuerdas no pueden intersecar en el exterior.

Círculos con cuerdas, tangentes y secantes.

Esta presentación como la anterior tienen que ver con segmentos, rayos, o líneas intersecando en el interior del círculo, en la circunferencia, o en el exterior.
Aprenderás en estos problemas a encontrar longitudes de segmentos en estas configuraciones descritas anteriormente para secantes, tangentes, o cuerdas intersecando uno de los lugares descritos.

 

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD VI

POLÍGONOS

Polígonos: Ángulos interiores y exteriores.

Un polígono esta definido como una figura plana formada por segmentos rectilineos unidos en los puentos extremos con uno solo de los segmentos a la vez y formando una área cerrada. Pueden ser convexos, o cóncavos, regulares o irregulares. Adicionalmente, reciben su nombre dependiendo del número de lados.
Ahora, si extiendes los segmentos que forman los lados del polígono entonces formas ángulos exteriores, que son suplementarios a el ángulo interior, tomados uno a la vez. De esta forma puedes conocer el número de lados de un polígono dado si conoces, el ángulo exterior, o el ángulo interior, etc. Calculos de este tipo son discutidos en esta lección y se aplican en forma extensiva en demostraciones geométricas en lecciones posteriores.

Áreas de paralelogramos y rectángulos.

¿Has visto a tu papá, o a un vecino pintar el exterior de la casa? Para hacerlo necesitan comprar la pintura necesaria. La forma más efectiva de comprar aproximadamente la cantidad exacta de pintura es conociendo el número de metros cuadrados, o pies cuadrados que se van a pintar, y entonces sabiendo el tipo de superficie y pintura necesaria por pie cuadrado, o metro cuadrado; se calcula la cantidad de pintura y se conoce el costo. Para conocer el número de unidades cuadradas necesitas medir los muros completos, y restar las áreas de ventanas y puertas. Esto implica trabajar con áreas de rectángulos, cuadrados, círculos, y algunas veces con otro tipo de polígonos.
Esta lección se concentra en áreas de paralelogramos y rectángulos. Lo hace del caso más sencillo donde solo se require sustituir, a casos más complejos donde por ejemplo la longitude de un lado, esta dada en términos de la longitude del otro lado, y se generan sistemas lineales en dos variables, o el uso de una ecuación cuadrática.

Áreas de rombos, trapecios y triángulos.

Al igual que en la lección para el cálculo de áreas de paralelogramos y rectángulos, en esta lección se discuten las aplicaciones en cálculo de áreas de rombos, trapecios, y triángulos que forman parte de las caras de solidos en tres dimensiones, que a la vez pueden ser los muros de un edificio, las superficies de un molde de inyección de plástico, o de una pieza de madera de un mueble.
En otras palabras se aplicarán en el cálculo de superficie de área y volumen de sólidos simples, y compuestos. Un sólido simple es un cono por ejemplo, y un sólido compuesto es el barquillo de nieve que compras en la tienda de helados.

Áreas de triángulos especiales.

Calculando el área de un triángulo implica el multiplicar la base por la altura y dividir el producto por dos.
No tan sencillo, si no se te dan ambas. Algunas veces solo se te dará, o podrás conocer del texto del problema la altura, pero no la base, o la base pero no la altura, o ninguna de las dos pero algún otro segmento, ángulos en la figura que te permitirán encontrar estas usando triángulos especiales, trigonometría, o el Teorema de Pitágoras.

Áreas de polígonos regulares.

Un polígono se clasifica por el número de lados, pero tambien dependiendo si todo los ángulos y lados son congruentes, o no. Si lo son el polígono en question es un polígono regular. Sino, entonces es irregular.
Si el polígono es regular, entonces los procedimientos a aplicar en el cálculo de las áreas se simplifican con el uso de trigonometría, triángulos rectángulos especiales, y el Teorema de Pitágoras.
Todo esto se discute extensivamente en esta lección.

 

 

 

 

 

 

UNIDAD VII

SÓLIDOS

Área superficial y volumen en cilindros rectos.

La lata de chiles Jalapeños es un ejemplo de un cilindro. Vienen en varios tamaños, y por lo tanto la cantidad es diferente.
Para el comprador solo es de interés conocer la cantidad de chiles, o el volumen aproximado. Para el fabricante es importante conocer la cantidad de lámina a usar, y entonces la superficie de área es relevante, y para el que le vende al fabricante las etiquetas que cubren los lados de la lata, la superfice lateral es el enfoque de su cálculo.
En esta lección encontrarás la información necesaria para efectuar estos cálculos teniendo la informacion explicitamente, o implicitamente en la redacción de los problemas.

Área superficial y volumen en cubos base 10

La superficie de área, y volumen pueden ser mejor entendidas si se tiene la oportunidad de manipular bloques de base 10. Estos son cubos de 10x10x10 centímetros cúbicos, prismas "planos" de 10x10x1 centímetros cúbicos, prismas "largos" de 10x1x1 centímetros cúbicos, y finalmente cubos de volumen unitario de 1x1x1 centímetro cúbico.
Con los bloques arriba enumerados, se pueden formar sólidos compuestos para los cuales se pueden calcular la superficie de área, y el volumen. Se pueden usar para aprender a hacer dibujos isométricos de el sólido en cuestion, o el dibujo ortográfico.
Esta lección trabaja con todo esto. No es necesario tener lo bloques, sin embargo si se tienen entonces se logra niveles mayores de interacción con la lección. Más aprendizaje y más "diversión."

Área superficial y volumen de prismas rectos.

Una caja de zapatos es un prisma recto, como lo son la mayoria de los edificios. Esta lección se enfoca en el cálculo de superficie de área, y el volumen de este tipo particular de sólido. Las aplicaciones son muy extensivas en la vida real. Van desde calcular volumenes de edificios para dimensionar unidades de aire acondicionado, hasta calcular la cantidad de pintura para pintar un edificio, o para remplazar los cristales cuando estos estan completamente cubiertos con estos, etc...

Área superficial y volumen de conos.

Los conos como las pirámides presentan ciertos retos para el promedio de los estudiantes. Por ejemplo, si se te da la circunferencia de la base del cono, pero no se te da el radio, necesitarás usar la fórmula de la circunferencia, o del área de la base para conocer el radio, y con la altura calcualr el volumen.
Ahora, si se te pide la superficie de área, entonces necesitarás la altura alabeada, que es la distancia más corta de el vértice a un punto en la base del cono.
Para muchos de estos cálculos se necesitan usar triángulos especiales, o trigonometría, o el Teorema de Pitágoras.

Área superficial y volumen de pirámides.

Cuando hablamos de pirámides, viene a nuesta mente las pirámides rectangulares de Egipto, o las del contiente americano. Sin embargo, existen pirámides con bases con poligonos con un número de lados diferente a cuatro. En todos los casos se tiene que saber como calcular áreas de triángulos, y polígonos en general, en especial polígonos regulares desde que la mayoría de las pirámides tienen este tipo de polígonos.
Las formulas no siempre se pueden aplicar de forma directa. Muchas de las veces se requiere usar triángulos especiales, el Teorema de Pitágoras, o trigonometría.
Podrás practicar todos estos componentes en esta lección.

Área superficial y volumen de esferas.

La esfera constituye algunos retos en particular. Por ejemplo, si se te da la superficie de área para calcular el volumen, entonces necesitas ir a través del proceso de encontrar primero el radio, y luego el volumen. La misma situación se confronta cuando quieres encontrar la superficie de área pero te dan el volumen. En todos los casos necesitas usar raices cuadradas, o cúbicas en la solución de los problemas.

 

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD VIII

SÓLIDOS COMPUESTOS

Área superficial y volumen con suma de sólidos: sólidos compuestos.

Una casa regular no tiene solo cuartos en forma de prismas rectangulares, muchas veces la casa se forma de manera que el edificio visto en su totalidad no permite usar uno de los sólidos platónicos para definir su figura. Es un sólido compuesto con un agregado de prismas rectangulares, algunos conos, cilindros, o partes parciales de estos sólidos.
Para todos estos casos hablamos de solidos compuestos. Su calculo requiere calcular los volumenes de los solidos individuales que constituyen el sólido compuesto, y sumar estos volumenes para encontrar el volumen total. Ahora, si lo que se busca es el área superficial, entonces se necesita contemplar a todos estos sólidos individualmente, pero solo la parte del área superficial en ellos que esta "expuesta" al area superfical de el sólido compuesto. En escencia es lo mismo que con los sólidos regulares, pero con un cierto número de consideraciones adicionales, y desde luego saber cómo hacer esto para los sólidos regulares.

Área superficial y volumen con resta de sólidos: sólidos compuestos.

Todo los descrito en el cálculo de solidos compuestos de la lección anterior applica a esta lección. Lo que es diferente es que algunas veces los sólidos compuestos se logran no sumando volumenes, sino restando volumenes de un volumen mayor.
Imagina que estas en la playa y unos niños a tu alrededor estan jugando con moldes de arena. Ves que uno de ellos vierte el contenido de una cubetita en la arena, y su hermano menor con una palita hace un tunel de lado a lado. Este es un sólido compuesto. Calcular el volumen requerirá el volumen de la cubetita, y restar el volumen de arena retirado para lograr el tunel de lado a lado.
Suerte en tus cálculos.

Área superficial y volumen con suma y resta de sólidos: sólidos compuestos.

En el caso de sólidos compuestos, el caso más complejo es cuando se suman varios volumenes para formar el sólido, pero adicionalmente se remueven otros para dar lugar a cavidades necesarias en la utilización final del sólido en cuestion.
Este es el caso de un mono block de un motor de combustion interna. Se forma de varios prismas, y otros solidos parciales sumados para hacer el mono block completo, pero require perforar o remover los volumenes que albergarán los cilindros que albergan las cámaras de combustión controlada que accionan el moviemiento en el motor.