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Geometría
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UNIDAD I

ECUACIONES Y DESIGUALDADES EN UNA VARIABLE

  • Expresiones y fórmulas:

    Orden de las operaciones. Fórmulas: fórmulas de áreas y ecuación cuadrática.
    Para estos problemas se te presentan varios ejemplos paso a paso aplicando el orden de las operaciones. Se concluye con la fórmula cuadrática porque esta se usa intensivamente en problemas de ecuaciones cuadráticas, y demanda un dominio adecuado del orden de las operaciones.

  • Números Reales:

    Recta numérica, conjuntos de números, propiedades de los números (conmutativa, asociativa, distributiva, etc), simplificación de expresiones.
    Los conceptos enumerados anteriormente te preparan para entender las narrativas en problemas de secciones posteriores.

  • Solución de ecuaciones lineales, incluyendo ecuaciones de valor absoluto:

    Propiedades de igualdad, solución de ecuaciones lineales de una variable, solución de ecuaciones de valor absoluto en una variable.
    Para resolver una de estas ecuaciones lineales necesitarás saber cuando sumar o restar la misma cantidad de ambos lados del signo igual, o cuando hacer lo mismo pero con la multiplicación o la division. Las propiedades de igualdad arriba listadas te dan la habilidad de indentificar la diferencia, cuando lo que persigues es dejar la variable aislada en un lado, y del otro lado quieres tener un valor numérico simplificado tanto como sea posible.
    La lección te dará multiples oportunidades para practicar esto.

  • Solución de desigualdades, incluyendo desigualdades de valor absoluto:

    Propiedades de desigualdad, solución de desigualdades lineales de una variable, y desigualdades de valor absoluto.
    Muchos problemas en la vida real no se reducen a un solo valor como respuesta. Por ejemplo, si tratas de calcular las longitudes de los lados que pueden formar un triángulo cuando se te dan tres segementos de línea, pero se te condiciona a responder sin tratar de formar la figura primero, pero solo determinar la longitud de los segmentos. Entonces de geometría sabemos que un triángulo se forma si para cada dos lados tomados a la vez de las 3 combinaciones posibles a tomar de los tres lados; se da que la suma de estos dos es mayor que la longitud del lado restante. Si esto no ocurre, entonces se tienen dos segmentos de linea adjacentes y paralelos (caso en que la suma de los dos es igual a la longitud del tercer lado), o no se forma el tercer vértice porque los segmentos de línea son tan cortos que no se tocan uno al otro en el punto extremo.
    Cada una de las desigualdades anteriores darian un conjunto de valores de longitud para los cuales se puede formar el triángulo. Es decir, no existe un solo valor como en una ecuación.

 

 

 

 

 

 

UNIDAD II

INTRODUCCIÓN A ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

  • Relaciones y funciones. Ecuaciones lineales:

    Una relación por definición es un conjunto de pares ordenados. Dentro del conjunto de relaciones se tienen aquellas en que existe una relación uno a uno. Estas son funciones. Se dice entonces que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Este y otros conceptos se dan al cubrir:
    Definición de relación y función, representaciones de relaciones por mapeo, tabla, conjunto de pares ordenados, y gráfica. Determinación de dominio y rango. Identificación de funciones (prueba de la línea vertical). Función continua vs. discreta. Identificación de ecuaciones lineales y forma estándar de la ecuación lineal.

  • Pendiente:

    Formula de la pendiente. Casos de la pendiente. Pendientes paralelas y perpendiculares.
    Si quieres empujar una silla de ruedas hacia el lado elevado de una rampa, esto puede ser muy facil o muy dificil. Todo depende de la inclinación.
    Para un persona minusvalida esto es aún más critico al accesar edificios, e instalaciones habitacionales. Por ello existe una normatividad que dice que por cada 12 unidades horizontales la rampa necesita no exceder de una unidad vertical. Esto no sucedía antes. Ahora un minusvalido puede con confianza saber que cualquier edificio será accesible pare ella o él.
    Lo anterior es la definición de pendiente, y se aplica extensivamente en esta lección.

  • Sistemas de ecuaciones lineales:

    Tienes que rentar una bicicleta y hay dos opciones. Una te cobran una cuota inicial mas un cierto cargo por día. La otra no pagas cuota inicial pero hay un cargo por dia un poco más elevado. Te interesa saber cuantos días tienen que pasar antes de llegar al día en que habrás gastado lo mismo con los dos planes. Después de ese día el plan que gastas menos ahora gastas más, y el plan que gastabas más ahora gastas menos.
    El problema descrito anteriormente es un tipo de problema que se resuelve planteando dos ecuaciones lineales en dos variables y resolviendolas por graficación, suma y resta, o por sustitución. El lugar geométrico donde las dos se intersecan es el punto en cuestión.
    Completando esta lección aprenderas Forma Pendiente-Intersección, Forma Punto-Pendiente y problemas que involucran un punto y la pendiente; dos puntos, etc. Resolviendo sistemas de ecuaciones por eliminación, por sustitución y por graficación. Introducción a algunas funciones especiales.
    Todos estos conceptos te serán muy utilies al trabajar problemas en la sección de cónicas si tienes planeado llegar a ellas.
  • Resolviendo desigualdades lineales con dos variables, incluyendo de valor absoluto:

    Al igual que con ecuaciones lineales en dos variables donde la solución son todos los pares ordenados que al sustituir sus valores de "x" y "y" satisfacen la ecuación. Las desigualdades en dos variables usan el espacio geométrico de la linea como frontera de un conjunto de soluciones. Arriba o abajo (cuando la linea recta no es paralela al eje y) pueden estar los valores que satisfacen la igualdad, y en el otro lado los que no la satisfacen. La línea misma puede o no puede ser parte de los valores que forman la solución. Si incluimos un enunciado que incluye mayor or igual, o menor o igual entonces la línea esta incluida. Si solo incluye mayor or menor, entonces la línea no es parte de las soluciones de la desigualdad. Aprende a sombrear abajo o arriba (donde esta el área con los valores que satisfacen la desigualdad), y si la línea es punteada o continua (si no es parte de la solución o si lo es). Lo anterior es cierto a la derecha o izquierda cuando la linea de frontera es paralela al eje "y".

 

 

 

 

 

 

UNIDAD III 

RESOLVIENDO SISTEMAS DE ECUACIONES LINEARES

  • Sistemas de desigualdades lineales en dos variables:

    Los ingenieros de producción de las fábricas de patinetas necesitan saber cuantos materiales pedir para satisfacer la demanda de producción en un turno determinado. Para saber cuanto hule o plastico, madera, o aceite. Para las llantas, la tabla que forma la patineta, y el aceite que lubrica los baleros de las ruedas. Para ello necesitan saber las restricciones que el proceso tiene y representarlas como lineas en el plano coordenado. En teoría estas restricciones forman un polígono, y los vértices del poligono tienen las coordenadas de interés para usarlas en lo que se conoce como la función de maximización o de minimización, o en general de optimización.
    Al sustituir las coordenadas de estos puntos en esta función ellos toman el valor máximo para maximizar, o el valor mínimo para minimizar. Esto es lo que se conoce como programación lineal.
    La lección cubre introducción a programación lineal y sus aplicaciones. Region solución y región factible. Máximo y mínimo de una función de optimización y problemas de programación lineal.
  • Matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando la inversa y la matriz aumentada:

    Seria benefico que visitaras la unidad de transformaciónes en la sección de geometría de este website (por ahora solo en inglés). Ahí verás que para trasladar, rotar, o reflejar un polígono determinado las coordenadas de los vertices se pueden ordenar en forma matricial, y así ser sujetas a operaciones matricales que permiten realizar las transformaciones enumeradas anteriormente. Por ejemplo, si queres trasladar un triángulo tres unidades horizontalmente, y dos unidades verticalmente. Una vez que las coordenadas "x" y "y" han sido organizadas en una matriz. Sumaras a esta otra matriz de igual dimensionamiento que sume a todas las "x" tres unidades, y a todas las "y" dos unidades. Lo que provoca un movimiento del triángulo en direccion y magnitud de movimiento conforme a el vector <3,2>. Esta lección te permite poner en practica todas estas habilidades básicas. Suma y resta de matrices, multiplicación de matrices e inversa de una matriz de 2x2.
    Adicionalmente, en la parte final de la lección se presenta un ejemplo de como realizar la solución de un sistema de un número de variables mayor a dos con lo que es la matriz aumentada. Tratar de resolver un sistema de estos por sustitución o suma y resta es muy laborioso e impráctico con más de tres variables (ve la lección anterior que menciona cubrir uno de estos sistemas.)

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD IV 

MANIPULACIÓN DE POLINOMIOS

  • Polinomios:

    Cuando tienes que sumar, restar, multiplicar, o dividir polinomios requieres de aplicar lo que se conoce como propiedades de los exponentes. Esto también aplica para elevar a un potencia determinada un monomio dado. En el caso de polinomios otras consideraciones se tienen que hacer, por ejemplo un cuadrado perfecto dice que el cuadrado del primero, mas el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo. Para efectuar esta expansión del binomio cuadrado perfecto tendrás que aplicar estas reglas de los exponentes. Lo mismo es para cualquier otra expansion.

  • Polinomios:

    Trabajar con aritmética de polinomios es muy similar a la aritmética con numeros reales. Por ejemplo para sumar tu alineas las decenas, las centenas, los millares, etc. Con los polinomios haces lo mismo: Alineas los terminos independientes, los términos lineales, los términos cuadraticos, etc. Esto para la suma vertical.
    En la lección se cubren: Suma, resta, multiplicación y división. Factorización, incluyendo fichas algebraicas y bloques de base 10 para modelar. División sintética y Máximo Común Múltiplo.
    El uso de los manipulativos es para vencer la dificultad que ciertos niveles de abstracción representa para algunos estudiantes. Visualizan la operación que ocurre con el manejo del concepto de área de un rectángulo, o el volumen de un prisma.
  • Radicales y exponentes racionales:

    Se hace necesario saber transformar una expresión radical a su forma exponencial y viceversa. Si multiplicamos radicales se expresan como potencias, se aplican las reglas de los exponentes, y se puede regresar a la forma radical. Cubre lo relativo a operaciones y simplificación de radicales. Raices de números reales y expresiones radicales.
  • Solución de ecuaciones y desigualdades con radicales:

    Al trabajar con radicales el reto inicial es saber los valores que arrojan soluciones reales en el radicando para saber que se va a trabajar con soluciones reales y no números imaginarios que no cumplen en la solución de estos problemas, después es necesario para las desigualdades con radicales hacer algo similar para lo que resta en la desigualdad. Esta lección cubre la solución de ecuaciones y verificación de soluciones atipicas.
  • Números complejos:

    Raíces imaginarias, simplificación de expresiones con números imaginarios, simplificación de números complejos, e iteraciones.

 

 

 

 

 

 

UNIDAD V

ECUACIONES CUADRÁTICAS

  • Ecuaciones cuadráticas y sus raíces:

    Si se lanza un projectil desde un cañon este seguirá un trayectoria parabólica. Si tratamos de encontrar la mejor geometría para la curvatura de un camino que se desvia noventa grados, se ha determinado que la mejor curva a seguir es una parábola. Si tratamos de graficar distancia de una pelota llendo cuesta arriba y luego cuesta abajo de una rampa (en línea recta) contra el tiempo, la gráfica es también una parábola.
    Como se puede ver son muchas las situaciones que se pueden modelar matemáticamente mediante un modelo parabólico.
    Por ello es importante el estudio de esta cónica. En la progresión de esta lección se desarrollarán los siguientes conceptos:
    Solución de ecuaciones cuadráticas por graficación, por uso de características de la gráfica, solución por factorización, solución con la fórmula cuadrática y completando el cuadrado.

  • Discriminante y producto y suma de raíces:

    En la lección que introdujo la parábola se vió como obtener los zeros, raices, soluciones, o intersecciones con el eje "x."
    El desarrollo de la presente lección pretende dar una vía rápida para saber cuando existen soluciones reales, no solución, o una solución imaginaria. Una vez cubierto este tema se irá a usar las soluciones de la ecuacion cuadrática para obtener el polinomio original, y cómo se pueden verificar las soluciones con suma y resta de las raices. Determinar si una ecuación cuadrática tiene una, dos o ninguna raíz real. Verificar la solución con el producto y suma de raíces.

 

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD VI 

SECCIONES CÓNICAS

  • Fórmulas de la distancia y el punto medio:

    Como introducción al tratado de las cónicas (parábola, elipse, círculo, e hipérbola) se inicia con la fórmula de la distancia y la fórmula del punto medio. Estas son sumamente importantes en el tratado de problemas con círculos. Sin embargo, la formula de la distancia es extemádamente relevante por el hecho que las fórmulas de las cónicas enumeradas se derivan de el uso de esta fórmula para con la definición respectiva derivar la ecuación correspondiente.
    Para el punto medio se hace el siguiente enfoque: Encontrar el punto medio. Encontrar el punto terminal si se conoce el punto medio y otro terminal. Encontrar la distancia entre dos puntos.

  • Parabolas: Fórmula y graficación.

    Se tiene el caso de que si enviamos una pelota rampa arriba usando una canaleta de plástico y con un sensor detectamos la posición de la pelota en la rampa en función del tiempo, y luego con los puntos generados (tiempo, posición en la canaleta) usamos un modelo parabólico, este nos permitira predecir con exactitud donde estaría la pelota en un segundo dado (siempre y cuando se puediera lanzar con la misma velocidad inicial y con todas las mismas condiciones iniciales restantes). Ahora has visto los caminos que se devián 90 grados. Los ingenieros civiles se han dado cuenta que la curvatura óptima de la ruta a seguir es una parabola. De igual manera cuando se requiere lanzar un projectil de un buque de guerra contra un objetivo enemigo, se utiliza un modelo parabólico para el calculo de la trajectoria. Son muchos los fenómenos naturales que se pueden matemáticamente modelar con la parábola.
    Se abordara este tema de la siguiente forma:
    Fórmulas para la parábola horizontal y vertical. Graficar la ecuación. Encontrar la ecuación cuando se conoce la gráfica.
  • Círculos: Fórmula y graficación.

    La definición de círculo esta dada como el espacio geométrico que dista la misma distancia de un punto llamado centro. Con la fórmula de la distancia se llega a la fórmula standard dada en términos de los parámetros h, k, y r. Siendo los dos primeros las coordenadas del centro y el último el radio. Se resolverán problemas con fórmulas del círculo, su graficación, y como obtener la formula de la gráfica. Tendrás la oportunidad de concluir con la utilización de las fórmulas del punto medio y la distancia con la fórmula del círculo.
  • Elipses: Fórmula y graficación.

    Definición formal de elipse. Fórmulas para elipses horizontales y verticales. Determinar la ecuación cuando se conoce la gráfica y viceversa. Los anteriores son lo temas a tratar llendo de la gráfica a la ecuación y de la ecuación a la gráfica. Para mejor entender la elipse es recomendable un repaso de como expander binomios elevados al cuadrado, y de cómo factorizarlos completando el cuadrado. Es igualmente recomendable repasar como sumar, restar, multiplicar, y dividir fracciones.
  • Hipérbolas: Fórmula y graficación.

    Las hipérbolas constituyen un reto especial dentro de las cuadráticas porque conllevan el graficar las asímptotas que requiren a la vez dominio de las formas Punto-Pendiente, y Pendiente-Interseccion de la línea recta. Un repaso de estas facilita mucho el aprendizaje en esta sección.
    El tratado de estas incluye: Fórmulas de hipérbolas horizontales y verticales. Ecuaciones de las asímptotas. Fórmula general de las cónicas. Se ha recomendado con aterioridad la gran ventaja de un repaso de cómo expandir binomios cuadrados perfectos, y cómo factorizarlos completando el cuadrado.

  • Sistemas de ecuaciones y desigualdades que involucran cónicas:

    Cuando resolvemos un problema involucrando la intersección de lineas rectas, la situación es sencilla porque la respuesta es solución única (intersección de las rectas), un numero infinito de soluciones (una gráfica ocupando el mismo espacio geométrico de la otra, o de otra manera una recta encima de la otra), o no solución en lo absoluto, cuando las rectas son paralelas. Esto no ocurre con la solución de una recta y una cónica, o dos cónicas. Una recta puede intersecar en más de un punto una cónica, y dos cónicas pueden intersecar hasta en cuatro puntos distintos. De tal manera que en la mayoría de los casos el enfoque gráfico es más práctico, y en algunos (muchos) el único con las herramientas provistas hasta ahora.
    Ahora, si hablamos de desigualdades la situación consiste en graficar adentro o afuera de la cónica, y si hablamos de solución de dos cónicas, entonces se puede hablar de un área encerrada por las mismas.
    Se tratarán los puntos en el siguiente orden: Resolución de ecuaciones y desigualdades simultaneas por método gráfico y algebraico cuando se involucran cónicas.

 

 

 

 

 

 

UNIDAD VII 

FUNCIONES POLINOMIALES

  • Encontrar los ceros o raíces de un polinomio:

    Determinar si un binomio es o no factor de un polinomio usando división sintética. Encontrar los factores de un polinomio dado uno de ellos. Aplicación del teorema del residuo y del factor. Regla de los signos de Descartes. Encontrar la ecuación polinomial cuando se conocen los ceros de la misma.

  • El teorema racional para encontrar ceros en una función polinomial:

    Años atrás, antes de las calculadoras, era preciso encontrar los ceros, soluciones, raices o intersecciones con el eje "x" manualmente. En ausencia de un método sistmático se puede invertir y finalmente gastar mucho tiempo enforma no productiva. El teorema racional da un enfoque en el que se utiliza el coeficiente del término con el mayor exponente y el término constante. Con ellos se obtienen un conjunto de fraciones o números racionales que potencialmente incluyen los zeros o soluciones. Entonces, se analizan los posibles ceros racionales mediante una tabla de división sintética en la que cada zero divide al polinomio y cuando el residuo es zero. ¡Bingo! se encontró un cero. Desde luego se explora cuantos de estos posibles zeros son positivos, cuantos son negativos, y cuantos pueden ser imaginarios.
  • Ecuaciones cuadráticas para resolver ecuaciones de mayor grado:

    Algunas ecuaciomes pares, o de exponente par mayor que dos, se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado usando la regla de potencia elevada a un potencia. Por ejemplo, "x" a la cuarta se puede expresar como "x" al cuadrado elevado al cuadrado. De esta forma se aplica a esta ecuación cuadrática las técnicas de factorización completar al cuadrado, o se usa la ecuación cuadrática para encontrar los zeros de la ecuación cuadratica que a su vez permiten encontrar las soluciones restantes (En las soluciones se tendrian 2 ecuaciones cuadráticas puras con dos soluciones cada una, dando en total cuatro soluciones de la ecuacion cuártica).
    El método es practico también con exponentes racionales, que generan radicales.
    Usar ecuaciones cuadráticas para resolver ecuaciones de una grado par.
  • Composición e inversa de una función polinomial:

    Todas las funciones pueden ser descompuestas en las funciones básicas que les dieron origen por el proceso de composición de funciones. Por ejemplo: Si empezamos con la función identidad que tiene al lado derecho "x" podemos luego sumar la función constante 5 (x+5 como nuevo argumento de la función anterior), y luego usar esta suma como el argumento de una ecuación cuadrática centrada en el centro del plano coordenado, y finalmente restarle la función constante -2 y terminariamos con una parábola centrada en (-5,-2). El proceso inverso se puede seguir para obtener cada una de las funciones individuales. La lección se base en: Encontrar la composición de funciones, y la inversa de funciones y relaciones.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD VIII 

ECUACIONES RACIONALES

  • Solución de ecuaciones racionales:

    Simplificación de expresiones racionales. Encontrar el MCM, y finalmente aplicar esto para resolver ecuaciones racionales; identificando valores a excluir de la solución.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD IX 

FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

  • Funciones logarítmicas y exponenciales:

    Aprenda a usar exponentes racionales y radicales para simplificar expresiones con exponentes radicales. Aplicar las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. Encontrar logaritmos de comunes y de cualquier base. Introducción a logaritmos naturales.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD

SERIES (PROGRESIONES) ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

  • Secuencias y series aritméticas y geométricas:

    Si iniciamos con un valor dado y a este se le suma una constante, esto nos da un nuevo número; si a este le sumamos nuevamente la misma constante, generamos un segundo número. Este proceso lo podemos repetir indefinidamente, y crearemos una secuencia aritmética donde la constante es la diferencia común. Ahora, si repetimos el proceso pero en lugar de sumar la constante, ahora multiplicamos, entonces hablamos de una razón constante. Esta lección nos permitira aprender a encontrar términos de secuencias aritméticas y geométricas, y cálculo de series o suma de los términos en una secuencia aritmetica o geométrica. Incluyendo el criterio de convergencias y divergencia para las series geométricas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UNIDAD XI 

PROBABILIDAD

  • Permutaciones y combinaciones:

    Si te piden crear contraseñas usando tres de las letras en abcd. ¿Podrías entender la diferencia entre abd y adb? Cuando el orden es importante hablamos de dos resultados distintos, cuando el orden no es importante entonces hablamos de uno en el caso anterior. La primera situación corresponde a permutaciones en las cuales el orden es importante, la segunda corresponde a combinaciones en cuyo caso el orden no es importante. Al final podrás entender la diferencia entre una combinación y una permutación. Incluyendo casos de combinaciones  y permutaciones circulares.
  • Introducción a la probabilidad:

    Definición informal y formal de probabilidad. Encuentre probabilidades de una ruleta, dados y paquete estándar de cartas. Aplicar probabilidad a problemas con combinaciones y permutaciones.
  • Probabilidad dependiente e independiente:

    En el cálculo de probabilidades es de suma importancia entender si por ejemplo necesitas dos cartas en un juego de mesa. Las cartas pueden implicar elementos comunes (cartas rojas se satisfacen con corazones y diamantes) o no hay elementos comunes (carta negra o nueve de corazones). Esto involucra lo que se conoce como eventos mutuamente inclusivos y excluyentes. Ahora si en el mismo juego las cartas se toman de un monton donde se toma la carta se lee y se deposita de regrerso en algún punto al azar en el monton, se barajean nuevamente, y se toma la segunda carta. Entonces hablamos de eventos dependientes e independientes. Si la carta no se regresa para tomar la segunda carta es un evento dependiente, si la carta se regresa es un evento independiente. Estas son las considraciones que determinan si multiplicamos o sumamos probabilidades.
    La lección lo hace con gráficos sumamente ilustrativos.
  • Experimentos binomiales y sus probabilidades:

    La mayoría de los estudiantes en nivel medio saben como elevar al cuadrado un binomio. Sin embargo un binomio puede requerir elevarse a la décima potencia, o a la veinteava potencia. Para ello se usa el teorema del binomio, que permite formar en un arreglo triangular los coeficientes de los términos de las expansiones al cuadrado, al cubo, a la cuarta, a la quinta, etc. De un binomio. Estos coeficientes en turno se pueden usar en probabilidades binomiales.
    La lección se enfoca en la aplicación del teorema del binomio en la solución de problemas de probabilidad de experimentos binomiales cuando se cumple un conjunto prederminado de condiciones.

  • Probabilidad experimental y geométrica:

    De una gráfica de datos históricos se pueden calcular las probabilidades de los eventos particulares que generaron esos datos. Eso se aprende en esta corta lección: Se practica a usar datos reales para calcular probabilidades y obtener probabilidades usando la razón de segmentos, áreas y volúmenes.